Una parte importante del trabajo de un matemático es la percepción de patrones que involucran números. De vez en cuando, un matemático se encuentra con algunas ecuaciones y percibe la presencia de una regularidad general en ellas. Por ejemplo, observe las siguientes identidades simples: 4 ^ 1-1 = 3 * 1, 4 ^ 2-1 = 3 * 5, 4 ^ 3-1 = 3 * 21, 4 ^ 4-1 = 3 * 85, etc. Cualquiera puede reconocer el patrón general: multiplique 4 consigo mismo tantas veces como desee y reste 1 de él, siempre obtendrá un múltiplo de 3. De manera similar, 1 + 2 + 3 = 3 * 4/2, 1+ 2 + 3 + 4 = 4 * 5/2, etc. Aquí de nuevo puedes percibir un patrón: suma todos los números naturales del 1 al número que quieras, el resultado que obtienes es siempre el mismo que la mitad de su producto por su sucesor. Los matemáticos tienen cierta forma de escribir patrones tan generales. El primero se escribe como “4 * n-1 siempre es divisible por 3”, y el segundo como 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) / 2. De manera similar, el patrón en las identidades 1 + 3 + 5 = 3 ^ 2, 1 + 3 + 5 + 7 = 4 ^ 2, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 ^ 2, etc. se escribe como 1 + 3 +5 + … + O_n = n ^ 2, O_n aquí significa el enésimo número impar. Los matemáticos perciben patrones que involucran números y los escriben de la forma descrita anteriormente. Han descubierto toda una gama de patrones interesantes y un simple vistazo a la variedad es suficiente para llenarlo de asombro y asombro. Echemos un vistazo a algunos de ellos.

Un conjunto con 3 elementos tiene 2 ^ 3 = 8 subconjuntos posibles, un conjunto con 4 elementos tiene 2 ^ 4 = 16 subconjuntos, …, un conjunto con n elementos tiene 2 ^ n subconjuntos. 2 ^ 3-2 = 6 * 1, 3 ^ 3-3 = 6 * 4, 4 ^ 3-4 = 6 * 10, …, n ^ 3-n es un múltiplo de 6. Dejemos el intermedio pasos y escribir las expresiones finales de los patrones a partir de ahora. x ^ 3-7x + 3 es un múltiplo de 3. 7 ^ n-5 ^ n es un múltiplo de 2. a ^ nb ^ n es un múltiplo de ab, ayb son números naturales diferentes. nC1 + nC2 + … + nCn = 2n. La lista es prácticamente interminable.

Uno no debe apresurarse a sacar la conclusión de que el patrón que percibe se traslada a todos los números naturales. Tomemos el ejemplo clásico de la expresión n ^ 2 + n + 41. Hace años se creía ampliamente que esta expresión siempre te da un número primo sin importar el número natural que pongas en él en lugar de n. 1 ^ 2 + 1 + 41 = 43, un número primo; 2 ^ 2 + 2 + 41 = 47, un número primo; 3 ^ 3 + 3 + 41 = 53, nuevamente un número primo, …, 39 ^ 2 + 39 + 41 = 1601. Uno realmente comienza a sentir que este patrón debería aplicarse a todos los números naturales; confirmar algo 39 veces eleva la confianza de uno casi a la certeza. Pero Euler, uno de los matemáticos más prolíficos de la historia, señaló en 1772 que esto no era cierto en general. 40 ^ 2 + 40 + 41 = 40 (40 + 1) + 41 = 40 * 41 + 41 = 41 (40 + 1) = 41 * 41, ¡un número compuesto en lugar de un primo! De manera similar, 41 ^ 2 + 41 + 41 = 41 (41 + 1 + 1), nuevamente un número compuesto. Entonces, ¿qué concluimos? Nos damos cuenta de que una confirmación repetida de un cierto patrón no implica necesariamente que el patrón en cuestión se traslade a todos los números. Uno comienza a sentir la necesidad de algo más que sirva como prueba de la validez de declaraciones que involucran patrones numéricos.

Percibir un patrón y generalizarlo a todas las situaciones posibles se llama inducción. Una gran cantidad de lo que llamamos conocimiento depende del proceso de inducción. ¿Cómo sabemos, por ejemplo, que si pierde algo, caerá a la tierra en lugar de volar? La inducción proporciona la respuesta; desde que nacimos, lo hemos visto suceder cientos de veces, y esta observación repetida nos ha dado la confianza de que siempre ocurrirá cuando alguien pierda algo. ¿Tienes dudas? ¡Pierde algo y mira qué pasa! El fuego quema, el veneno mata, los árboles nos dan fruto, el sol brilla para darnos luz y se levanta a diario, etc. son algunas de las cosas en las que creemos por inducción. No solo en la física y la vida cotidiana, esto también es aplicable en el caso de los patrones numéricos. Hacemos algunas observaciones, percibimos un patrón y comenzamos a sentir que lo que observamos en el caso de ciertos números seleccionados, debería ser cierto para todos los números que están allí. Es una de las herramientas más sólidas de un matemático en activo. Pero … hay algo más fuerte que no está disponible en el caso de nuestras experiencias cotidianas: los matemáticos tienen el Método de Inducción Matemática.

La inducción matemática es una herramienta que se utiliza para complementar la carencia inherente al proceso de inducción, tan vívidamente expuesta por la observación de Euler en 1772. Su observación muestra claramente que necesitamos algún otro método para confirmar si el patrón que percibimos se traslada a todos los números o no, y si el enunciado final, que involucra n, que hemos escrito es verdadero para todos los números o no. Esto se logra mediante el uso del método de inducción matemática. Sirve como prueba de la validez de una declaración general sobre números naturales. Si una afirmación o un enunciado pasa esta prueba, ciertamente es cierto para todos los números que se pueden poner para n en la expresión final. Tenga en cuenta que no todas las expresiones se refieren a todos los números naturales. “4n-1 es múltiplo de 3” es cierto para todos los números naturales, pero n! > n ^ 2 es verdadero para todos los números naturales que son mayores que 3, en lugar de ser verdadero para todos los números naturales. Entonces, mientras hablamos de patrones, deberíamos estar atentos a su rango de aplicabilidad. En aras de la simplicidad, en este artículo nos ocuparemos únicamente de los patrones que involucran a todos los números naturales. Ahora echemos un vistazo a los pasos del método.

El método de inducción matemática consta de solo dos pasos. El primer paso es ver si la afirmación es verdadera para el primer número natural 1 o no. El segundo es un poco complicado; verificamos lo siguiente: si la afirmación es cierta para un número determinado, ¿también lo es para el siguiente? Es decir, consideramos los sucesores de aquellos números para los que el patrón es verdadero y verificamos si la afirmación es cierta para todos los sucesores o no. Cuando un matemático confirma estas dos cosas, escribe sus hallazgos como una prueba que consta de dos pasos: primero, prueba que la afirmación es verdadera para 1 y, en segundo lugar, pasa a demostrar que si la afirmación es verdadera para cualquier número, debe ser cierto también para su sucesor. A partir de estas dos pruebas, la comunidad matemática comienza a aceptar la validez general de la afirmación hecha. La pregunta que surge aquí es “Por qué”. ¿Cómo sabemos que un enunciado que pasa estos dos pasos debe ser verdadero en general? Bueno, hay varias formas de “ver” esto.

Imagina una larga hilera de baldosas tan cerca unas de otras que si alguna de ellas cae, su vecino también caerá. Ahora, si alguien deja caer el primero, podemos ver claramente que caerán todas las fichas. Similar es el caso de los números. Si una afirmación es verdadera para 1 y es verdadera para el sucesor de cada número para el que es verdadera, debe ser verdadera para todos los números. También hay otra forma: sabemos que la afirmación es verdadera para 1, por lo que desde el paso dos sabemos que debe ser verdadera para su sucesor, que es 2; después de todo, hemos demostrado en el paso dos que la afirmación es verdadera para los sucesores de todos aquellos números para los que es verdadero, por lo tanto, debe ser cierto también para el sucesor de 1, que es 2. Ahora que es cierto para 2, desde el paso dos, debe ser cierto también para 3; y para 4, y para 5, …, y para 1000, y para 1000 000, …, … y … Bueno, para todos los números naturales.

También hay una forma indirecta de verlo y, personalmente, me parece más interesante. Depende de un hecho muy simple sobre los números naturales: si elige ciertos números naturales, no importa cuántos de ellos, debe haber uno más pequeño entre ellos. Por ejemplo, si elijo los números de admisión de los estudiantes de mi clase, todos pueden ver que debe haber un estudiante con el número de admisión más pequeño. Muy simple. Esto se llama la propiedad de ordenamiento correcto de los números naturales. ¿Este simple hecho merece un título aparte? Sí, y verá el “por qué” en poco tiempo.

La propiedad de buen orden de los números naturales implica que el método de inducción matemática es de hecho una prueba válida de la verdad de los enunciados generales que involucran números. Supongamos, por el contrario, que hay una declaración que ha pasado esta prueba y aún es falsa para algunos números naturales. Si existen tales números, debe haber un número menor. Llámalo s. No puede ser 1 en virtud del paso uno. Entonces debe tener un predecesor; llámalo p. Dado que s es el más pequeño de aquellos para los que el enunciado es falso, debe ser verdadero para p, por lo que, en el paso dos, ¡debe ser verdadero también para sus sucesores s! Esto es imposible; por tanto, la existencia de aquellos números para los que la afirmación es falsa es imposible; su existencia implicará la existencia de uno más pequeño entre ellos, cuya existencia es imposible, ya que para ella la afirmación debe ser verdadera y falsa al mismo tiempo. Un argumento muy inteligente, de hecho.

La idea de este método es verdaderamente ingeniosa y no se puede dejar de admirar el talento de la persona que lo introdujo. Me gustaría concluir este artículo enumerando algunas aplicaciones interesantes de este método. Los detalles de estas aplicaciones se pueden encontrar en el libro Discrete Mathematics and its Applications de Rosen. Puede aplicarse a problemas de envío. Por ejemplo, podemos probar con este método que cualquier cantidad de franqueo de 12 centavos o más puede formarse utilizando solo sellos de 4 y 5 centavos. Del mismo modo, podemos demostrar que cualquier franqueo de 8 centavos o más puede formarse utilizando solo sellos de 3 y 5 centavos. Se puede aplicar a juegos. Por ejemplo, podemos demostrar que en un determinado juego de dos jugadores, el segundo jugador puede garantizar una victoria. Se puede aplicar para probar ciertos hechos sobre torneos de todos contra todos. Se usa ampliamente en teoría de números y muchas otras ramas de las matemáticas. Se puede aplicar para demostrar que determinados suelos se pueden alicatar con determinadas baldosas … La variedad de aplicaciones es infinita.